【建模教程】-数学建模题目及答案-数学建模100题

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----09级数模试题1.把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条ABCDB,CDxxababAD0x。容易看出当四条腿尚未全部着地时腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f)为AB离地距离之和，g()为D唯一确定。由假设，f),g)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----均为的连续函数。又由假设（ 3，三条腿总能同时着地， 故f)g(=0（f(0)0g(0)0若g(0)0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转，于是问题归结为：已知f),g()均为的连续函数， f(0)0,g(0)0且对任意有f)g)0，求证存在某一f)g)0。0 0 0 0 0证明：当θπAB与CD互换位置，故f0g(0。作)f)g()，显然)也是的连续函数，h(0)f(0)g(0)0而)f)g()0，由连续函数的取零值定理，存在，0 ，0 00fg)f)g)00 0 0 0 0fg(0，证毕。0 021000Th，235A，333B，432CTh10（15）xy，Czx+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；0 x 100 y 100 x 100 y 10----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0 z 100 z 10解得：x=3y=3z=43580Th2Th猪出售的市场价格为每公80.1（15）tTh猪（80）可以获得的z每头猪投入：5t8-0.1（80+2）元Z=5t（8-0.1（80+2）=-0.2t^2+13t+640=-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4t=32t=33Zmax=851.25(元)因此，应该在第32天过后卖出这样的Th猪，可以获得最大利润。一奶制品加工厂用牛奶Th123A1，或者在设备乙上用84A2。根据市场需求，Th----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----A124A21650480100A1，试为该厂制订一个Th（2）331（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?(5)A130/公斤，应否改变Th产计划？（15）解：设：每天ThxA1，yA2，所获Z加工每桶牛奶的信息表:产品所需时间产量A112小时3公斤A284获利/公斤2416(1) x+y<=5012x 8y 4800y3x0100Z=24*3x+16*4y=72x+64y----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x=20，y=30Zmax=3360则此时，Th产Th20ThA1，30ThA2。（2）设：纯利润为W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>033/(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----12x 8y 4800 3x 100y 0W=39x+31yx=0，y=60Wmax=1860----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----则最多购买60桶牛奶。(4)n(5A130----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x=0，y=60，Z1max=3840（元）因此，不必改变Th产计划。在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它9818℃的水池38℃，假定没有感到水变热，问鸡蛋达20℃，（15）解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。TdT/dttT1T-T1由题意有：T-T1=kdT/dt 其中k为比例常) (1)方程(1)化为 ：dt=kdT/（T-T1） （2）对（2）两边同时积分之后并整理一下就得到：t=k*ln（T-T1）+Ck5k5ln20ln80所以，还需8.（mi。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少；如果购进太多，卖不完，将要赔（15）解：设：bacn。nnnna、b、crn。基本假设1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。2rbac。3、假设每日的定购量是n。4、报童的目的是尽可能的多。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----建立模型rnrnrnn由常识可以知道卖报纸只有、不不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。1、。又可分为两种情况:①r>n，则最终收益为(a-b)n (1)②r<n，则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>0整理得：r/n>(b-c)/(a-c) (2)2、由(2)式容易得出不不赔钱。r/n=(b-c)/(a-c)(3)3、赔钱。r/n<(b-c)/(a-c)(4)模型的求解----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----首先由(1nnrnrnn(4n最后重点分析(2)式。r(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入a>b>ca-c>a-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。然后采用放缩法，(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到r/n<(b-c)/(a-b) (5)不等式依然成立。由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与(a-b)的比值就应越小。当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与之比越小，订购数就应越多。谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关（10）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目数学建模的几个过程模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。（估计）。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----数学模型论文模型名称：减肥计划—节食与运动学号：101004115系别：基础科学系姓名：张吉言上课时间：周一晚6：00是否下学期上课：是----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----减肥计划——节食与运动[摘要]减肥能量 进食活动----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----一、问题重述BMI）体重（单位：kg）除以身高（m）的平方，规定BMI18.5252530对东方人的特点，拟将上规定中的25改为24.30改为29。各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原二、模型分析通常,当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，一部分用于代谢和运动消耗，若有剩余则转化为脂肪存储起来，导致体重的增加。如果要想体重减少，必须使吸收的热量小于消耗的热量，从而使机体代谢存储的脂肪。这可以通过减少摄入和增加消耗来实现，即减少进食量，增加运动量。但每天的进食不仅提供能量，还提供人体必需的营养物质，所以进食量不能过少。这里，以天为单位，来计算人体的代谢变化，选用离散事件模型——差分方程来讨论。三、模型假设根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：8000kcal1kg；200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal-3200kcal;运动一起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal；四、基本模型kw(k)kc（ka=1/8000（kg/kcal（因人而异，则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为w(k1)w(k)c(k1)w(k)k=0,1,2……若增加运动，只需将改为由运动的时间和形式而定。ck1)wk)ck1)wk)时，可维持体重。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----五、减肥计划的提出某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。3）给出达到目标后维持体重的方案。六、减肥计划的制定不运动情况下两阶段的减肥计划1c=20000kcalw=100kg不变，由式得----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----w=w+ac-bw,b=ac/w=20000/8000/100=0.025相当于每周每公斤体重消耗20000/100=200kcal。2）第一阶段要求体重每周减少 b=1kg，吸收热量减至下限 cw(k)–w(k)-w(0)-bk，由模型（1）式可得

min

=10000kcal,即----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----c(k1)1a

w(k)ba

bw(0)a

(1k)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----将a，，b的数值代入，并考虑下限cc(k1)12000 200kc 10000min得k<=10,即第一阶段共10周，按照

，有min----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----c（k+1）=12000-200k，k=0,1,2，……，9吸收热量，可使体重每周减少1kg，至第10周末体重达到90kg。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----3）第二阶段要求每周吸收热量保持下限cw(k+1)=(1-)w(k)+ac

min

,由基本模型（1）可得----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----min为得到体重减至75kg，将此式递推可得 w(kn))nw(k)ac 1) )n1min----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(1)nw(k)ac

/acmin

/min----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----已知w(k)90，要求w(kn)75，再以 a,,c

的数值代入，给出----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----750.975n(9050)50 得到n=19,即每周吸收热量保持下限周体重可减至75kg增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9记表中热量消耗，每周运动时间t，为利用基本模型，只需将改为t，即----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----w(k1)w(k)ac(k1)(t)w(k)试取t0003,即t24，则此式中的

0025应改为t0028，得----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----750.972n(9044.6)44.6t24的运动（810小时14周。3）75kg----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----使wk)不变，得wwac(t)wc(t)w/若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动，则c=16800kcal。