高等数学课件第一章函数与极限

一、基本概念2024/3/10函数与极限21.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集2024/3/10函数与极限3数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2024/3/10函数与极限42.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,2024/3/10函数与极限5称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2024/3/10函数与极限63.邻域:2024/3/10函数与极限74.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.2024/3/10函数与极限85.绝对值:运算性质:绝对值不等式:2024/3/10函数与极限9因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念2024/3/10函数与极限10自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.2024/3/10函数与极限11定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．2024/3/10函数与极限12(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo2024/3/10函数与极限13(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线2024/3/10函数与极限14有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数2024/3/10函数与极限15(4)取最值函数yxoyxo2024/3/10函数与极限16在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2024/3/10函数与极限17例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压2024/3/10函数与极限182024/3/10函数与极限19例2解故三、函数的特性2024/3/10函数与极限20M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:2024/3/10函数与极限212．函数的单调性:xyo2024/3/10函数与极限22xyo2024/3/10函数与极限233．函数的奇偶性:偶函数yxox-x2024/3/10函数与极限24奇函数yxox-x2024/3/10函数与极限254．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2024/3/10函数与极限26

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数五、小结2024/3/10函数与极限27基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数2024/3/10函数与极限28思考题2024/3/10函数与极限29思考题解答设则故2024/3/10函数与极限30练习题2024/3/10函数与极限312024/3/10函数与极限32练习题答案一、基本初等函数2024/3/10函数与极限341.幂函数2024/3/10函数与极限352.指数函数2024/3/10函数与极限363.对数函数2024/3/10函数与极限374.三角函数正弦函数2024/3/10函数与极限38余弦函数2024/3/10函数与极限39正切函数2024/3/10函数与极限40余切函数2024/3/10函数与极限41正割函数2024/3/10函数与极限42余割函数2024/3/10函数与极限435.反三角函数2024/3/10函数与极限442024/3/10函数与极限452024/3/10函数与极限46

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.二、复合函数初等函数2024/3/10函数与极限471.复合函数定义:2024/3/10函数与极限48注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2024/3/10函数与极限49例1解2024/3/10函数与极限50综上所述三、双曲函数与反双曲函数2024/3/10函数与极限51奇函数.偶函数.1.双曲函数2024/3/10函数与极限52奇函数,有界函数,2024/3/10函数与极限53双曲函数常用公式2024/3/10函数与极限542.反双曲函数奇函数,2024/3/10函数与极限552024/3/10函数与极限56奇函数,四、小结2024/3/10函数与极限57函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)2024/3/10函数与极限58思考题2024/3/10函数与极限59思考题解答不能．2024/3/10函数与极限60一、填空题:练习题2024/3/10函数与极限612024/3/10函数与极限62练习题答案2024/3/10函数与极限63一、概念的引入2024/3/10函数与极限65“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽2024/3/10函数与极限66正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2024/3/10函数与极限672、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义2024/3/10函数与极限68例如2024/3/10函数与极限69注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数2024/3/10函数与极限70播放三、数列的极限2024/3/10函数与极限71问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:2024/3/10函数与极限722024/3/10函数与极限73如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：2024/3/10函数与极限74几何解释:其中2024/3/10函数与极限75数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：2024/3/10函数与极限76例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.2024/3/10函数与极限77例3证2024/3/10函数与极限78例4证四、数列极限的性质2024/3/10函数与极限791.有界性例如,有界无界2024/3/10函数与极限80定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2024/3/10函数与极限812.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.2024/3/10函数与极限82例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a2024/3/10函数与极限83五.小结2024/3/10函数与极限84数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.2024/3/10函数与极限85思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立2024/3/10函数与极限86思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值2024/3/10函数与极限87从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为2024/3/10函数与极限88练习题2024/3/10函数与极限89“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入三、数列的极限2024/3/10函数与极限902024/3/10函数与极限91三、数列的极限2024/3/10函数与极限92三、数列的极限2024/3/10函数与极限93三、数列的极限2024/3/10函数与极限94三、数列的极限2024/3/10函数与极限95三、数列的极限2024/3/10函数与极限96三、数列的极限2024/3/10函数与极限97三、数列的极限2024/3/10函数与极限98三、数列的极限2024/3/10函数与极限99三、数列的极限2024/3/10函数与极限100三、数列的极限2024/3/10函数与极限101三、数列的极限2024/3/10函数与极限102三、数列的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限104播放2024/3/10函数与极限105通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.2024/3/10函数与极限1062024/3/10函数与极限1072.另两种情形:2024/3/10函数与极限1083.几何解释:2024/3/10函数与极限109例1证二、自变量趋向有限值时函数的极限2024/3/10函数与极限1102024/3/10函数与极限1112024/3/10函数与极限1122.几何解释:注意：2024/3/10函数与极限113例2证例3证2024/3/10函数与极限114例4证函数在点x=1处没有定义.2024/3/10函数与极限115例5证2024/3/10函数与极限1163.单侧极限:例如,2024/3/10函数与极限117左极限右极限2024/3/10函数与极限118左右极限存在但不相等,例6证三、函数极限的性质2024/3/10函数与极限1191.有界性2.唯一性2024/3/10函数与极限120推论3.不等式性质定理(保序性)2024/3/10函数与极限121定理(保号性)推论2024/3/10函数与极限1224.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理2024/3/10函数与极限123证2024/3/10函数与极限124例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.2024/3/10函数与极限125例7证2024/3/10函数与极限126二者不相等,四、小结2024/3/10函数与极限127函数极限的统一定义(见下表)2024/3/10函数与极限128过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2024/3/10函数与极限129思考题2024/3/10函数与极限130思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.131可编辑132可编辑2024/3/10函数与极限133一、填空题:练习题2024/3/10函数与极限1342024/3/10函数与极限135练习题答案2024/3/10函数与极限136一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限137一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限138一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限139一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限140一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限141一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限142一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限143一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/3/10函数与极限144一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、无穷小2024/3/10函数与极限1461.定义:极限为零的变量称为无穷小.2024/3/10函数与极限147例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2024/3/10函数与极限1482.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性2024/3/10函数与极限149意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证2024/3/10函数与极限150注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.2024/3/10函数与极限151定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证2024/3/10函数与极限152推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大2024/3/10函数与极限153绝对值无限增大的变量称为无穷大.2024/3/10函数与极限154特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.2024/3/10函数与极限155不是无穷大．无界，2024/3/10函数与极限156证三、无穷小与无穷大的关系2024/3/10函数与极限157定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证2024/3/10函数与极限158意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、小结2024/3/10函数与极限1591、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.2024/3/10函数与极限160思考题2024/3/10函数与极限161思考题解答不能保证.例有2024/3/10函数与极限162一、填空题:练习题2024/3/10函数与极限1632024/3/10函数与极限164练习题答案一、极限运算法则2024/3/10函数与极限166定理证由无穷小运算法则,得2024/3/10函数与极限1672024/3/10函数与极限168推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，二、求极限方法举例2024/3/10函数与极限169例1解2024/3/10函数与极限170小结:2024/3/10函数与极限171解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例22024/3/10函数与极限172解例3(消去零因子法)2024/3/10函数与极限173例4解(无穷小因子分出法)2024/3/10函数与极限174小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.2024/3/10函数与极限175例5解先变形再求极限.2024/3/10函数与极限176例6解2024/3/10函数与极限177例7解左右极限存在且相等,三、小结2024/3/10函数与极限1781.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.2024/3/10函数与极限179思考题

在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？2024/3/10函数与极限180思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．2024/3/10函数与极限181一、填空题:练习题2024/3/10函数与极限182二、求下列各极限:2024/3/10函数与极限1832024/3/10函数与极限184练习题答案一、无穷小的比较2024/3/10函数与极限186例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限2024/3/10函数与极限187定义:2024/3/10函数与极限188例1解例2解2024/3/10函数与极限189常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,二、等价无穷小替换2024/3/10函数与极限190定理(等价无穷小替换定理)证2024/3/10函数与极限191例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意2024/3/10函数与极限192例4解解错2024/3/10函数与极限193例5解三、小结2024/3/10函数与极限1941.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.2024/3/10函数与极限195思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？2024/3/10函数与极限196思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时2024/3/10函数与极限197练习题2024/3/10函数与极限1982024/3/10函数与极限1992024/3/10函数与极限200练习题答案2024/3/10函数与极限201一、函数的连续性2024/3/10函数与极限2031.函数的增量2024/3/10函数与极限2042.连续的定义2024/3/10函数与极限2052024/3/10函数与极限206例1证由定义2知2024/3/10函数与极限2073.单侧连续定理2024/3/10函数与极限208例2解右连续但不左连续,2024/3/10函数与极限2094.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,2024/3/10函数与极限210例3证二、函数的间断点2024/3/10函数与极限2112024/3/10函数与极限2121.跳跃间断点例4解2024/3/10函数与极限2132.可去间断点例52024/3/10函数与极限214解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.2024/3/10函数与极限215如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点2024/3/10函数与极限2163.第二类间断点例6解2024/3/10函数与极限217例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.2024/3/10函数与极限218狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★2024/3/10函数与极限219在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:2024/3/10函数与极限220例8解三、小结2024/3/10函数与极限2211.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)2024/3/10函数与极限222可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx2024/3/10函数与极限223思考题2024/3/10函数与极限224思考题解答且2024/3/10函数与极限225但反之不成立.例但2024/3/10函数与极限226练习题2024/3/10函数与极限2272024/3/10函数与极限228练习题答案2024/3/10函数与极限229一、四则运算的连续性2024/3/10函数与极限231定理1例如,二、反函数与复合函数的连续性2024/3/10函数与极限232定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2024/3/10函数与极限233定理3证2024/3/10函数与极限234将上两步合起来:2024/3/10函数与极限235意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解2024/3/10函数与极限236例2解同理可得2024/3/10函数与极限237定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,三、初等函数的连续性2024/3/10函数与极限238三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★2024/3/10函数与极限239定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.2024/3/10函数与极限2401.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.2024/3/10函数与极限241例3例4解解四、小结2024/3/10函数与极限242连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.2024/3/10函数与极限243思考题2024/3/10函数与极限244思考题解答是它的可去间断点2024/3/10函数与极限245练习题2024/3/10函数与极限2462024/3/10函数与极限2472024/3/10函数与极限248练习题答案一、最大值和最小值定理2024/3/10函数与极限250定义:例如,2024/3/10函数与极限251定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.2024/3/10函数与极限252定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证二、介值定理2024/3/10函数与极限253定义:2024/3/10函数与极限254几何解释:2024/3/10函数与极限255几何解释:MBCAmab证由零点定理,2024/3/10函数与极限256推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,2024/3/10函数与极限257例2证由零点定理,三、小结2024/3/10函数与极限258四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;2024/3/10函数与极限259思考题下述命题是否正确？2024/3/10函数与极限260思考题解答不正确.例函数2024/3/10函数与极限261练习题262可编辑263可编辑